Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear empat variabel
Sebelumnya kita sudah membahas cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear... Yaitu dengan metode eliminasi substitusi dan metode gabungan. Selanjutnya coba kita terapkan metode tersebut kedalaman PERSAMAAN LINEAR EMPAT VARIABEL berikut ini:
Sistem persamaan linear 4 variabel adalah himpunan 4 persamaan yang memiliki 4 variabel. Jika kurang dari 4 persamaan tentunya persamaan memiliki tak terhingga penyelesaian, dan jika ada 5 persamaan atau lebih, bisa jadi tidak memiliki penyelesaian dan terjadi kontadiksi.
Sistem persamaan linear 4 variabel adalah himpunan 4 persamaan yang memiliki 4 variabel. Jika kurang dari 4 persamaan tentunya persamaan memiliki tak terhingga penyelesaian, dan jika ada 5 persamaan atau lebih, bisa jadi tidak memiliki penyelesaian dan terjadi kontadiksi.
Untuk meyelesaiakan sistem persamaan linear 4 variabel maka bentuk ini kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 3 variabel(tentunya ada 3 persamaan), baru kemudian kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel.
Contoh soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari
2a + 3b + c + d = 12
a + b + 5c – d = 15
3a + 2b + 2c + 4d = 9
4a – b + 3c + 2d = 5
Jawab :
Sekarang kita coba menyelesaiakan dengan metoda eliminasi
Setiap persamaan kita beri nama persamaan (1), (2) , (3) dan (4)
2a + 3b + c + d = 12 ……………………………………(1)
a + b + 5c – d = 15 ………………………………………(2)
3a + 2b + 2c + 4d = 9 ……………………………………(3)
4a – b + 3c + 2d = 5 ……………………………………..(4)
Langkah awal kita harus membuat 3 persamaan dengan 3 variabel. Untuk itu kita harus mengeliminasi salah saru variabel. Untuk contoh ini misalnya saya akan mengeliminasi d
Sekarang kita pilih persamaan (1) dan (2) untuk dijumlahkan
2a + 3b + c + d = 12
a + b + 5c – d = 15__________ +
3a + 4b + 6c = 27 …………………………………….(5)
Selanjutnya persamaan (2) dengan (3)
a + b + 5c – d = 15 |4|→ 4a + 4b + 20c – 4d = 60
3a + 2b + 2c + 4d = 9 |1|→ 3a + 2b + 2c + 4d = 9______ +
. 7a + 6b + 22c = 69 …………………….(6)
Sekarang persamaan (2) dengan (4)
a + b + 5c – d = 15 |2|→ 2a + 2b + 10c – 2d = 30
4a – b + 3c + 2d = 5 |1|→ 4a – b + 3c + 2d = 5 +
. 6a + b + 13c = 35 …………………….(7)
Sekarang kita telah memiliki sistem persamaan linear 3 variabel, yaitu persamaan (5), (6), dan (7). Dari sini akan kita bentuk menjadi 2 persamaan tanpa variabel b
Ih
sekarang kita pilih persamaan (7) dan (5)
6a + b + 13c = 35 |4| → 24a + 4b + 52c = 140
3a + 4b + 6c = 27 |1| → 3a + 4b + 6c = 27 _
. 21a + 46c = 113 …………….(8)
sekarang kita ambil persamaan (7) dan (6)
6a + b + 13c = 35 |6| → 36a + 6b + 78c = 210
7a + 6b + 22c = 69 |1|→ 7a + 6b + 22c = 69 _
. 29a + 56c = 141 ……………..(9)
Langkah terakhir kita eliminasi persamaan (8) dan (9)
21a + 46c = 113 |29| → 609a + 1334c = 3277
29a + 56c = 141 |21| → 609a + 1176c = 2961 _
. 158c = 316
. c = 2
21a + 46c = 113
21a + 46.2 = 113
21a + 92 = 113
21a = 21 → a = 1
6a + b + 13c = 35
6.1 + b + 13.2 = 35
6 + b + 26 = 35
32 + b = 35 → b = 3
2a + 3b + c + d = 12
2.1 + 3.3 + 2 + d = 12
2 + 9 + 2 + d = 12
13 + d = 12
d = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 3, 2, -1)}
