Aplikasi Program Linear
APLIKASI PROGRAM LINEAR
Hal terpenting dalam
masalah program linear adalah mengubah suatu permasalahan verbal (permasalahan
dalam kehidupan sehari-hari, misalnya dalam bidang Teknik, perdagangan, maupun
perindustrian)kedalam bentuk model matematika artinya mengubah permasalahan
dalam Bahasa sehari-hari kedalam Bahasa matematika yang lebih sederhana dan
dapat dengan mudah dimengerti.
Masalah program linear
membahas model matematika yang berkaitan dengan fungsi kendala dan fungsi
objektif (fungsi sasaran/tujuan) dan
merupakan fungsi yang hendak dioptimalkan (minimum atau maksimum).
1.
Mengubah permasalahan verbal menjadi model
matematika
Untuk
mempermudah dalam mengubah permasalahan verbal menjadi model matematika
digunakan table sebagai berikut:
|
Variabel |
Variable 1 (x) |
Variable 2(y) |
Ketersediaan |
|
Variable lain 1 |
……………… |
…………………. |
………………. |
|
Variable lain 2 |
………………. |
…………………. |
……………….. |
|
Variable lain 3 |
…………….. |
…………….. |
……………… |
System
pertidaksamaan bertanda ‘≤’ jika persediaan dalam verbal tersirat kata “Paling
banyak” atau “hanya” dan system pertidaksamaan bertanda
“≥” jika persediaan dalam soal verbal tersirat kata “paling sedikit”
Contoh:
Seorang
pemborong hanya mempunyai persediaan 100 kaleng cat biru dan 240 kaleng cat
putih. Pemborong tersebut mendapat order untuk mengecat ruang tamu dan kamar
tidur disuatu perumahaan. Setelah dikalkulasi, satu ruang tamu menghabiskan 1
kaleng cat biru dan 3 kaleng cat putih, sedangkan satu kamar tidur menghabiskan
2 kaleng cat biru dan 2 kaleng cat putih. Jika biaya yang ditawarkan pada
pemborong untuk mengecat setiap ruang tamu adalah Rp 300.000,00 dan untuk
setiap kamar tidur Rp 250.000,00; buat model matematika (fungsi kendala dan
objektif) dari persoalan tersebut.
Penyelesaian
Diketahui
: - terdapat kata “hanya”
-
100 kaleng cat biru
-
240 kaleng cat putih
Misalkan: - x = banyak ruang tamu yang di cat
-
Y = banyak kamar tidur yang di cat
-
Variable lain = cat biru dan putih
|
Variabel |
Banyak ruang tamu (x) |
Banyak kamar tidur (y) |
Persediaan |
|
Cat
Biru |
1
kaleng |
2
kaleng |
100
kaleng |
|
Cat
Putih |
3
kaleng |
2
kaleng |
240
kaleng |
Maka model matematika
berdasarkan tabel diatas adalah
X + 2y ≤ 100
3x + 2y ≤ 240
Oleh karena banyak ruang
tamu dan banyak kamar tidur selalu bernilai
positif maka x dan y adalah bilang bulat yang tidak negatif.
x ≥ 0
y ≥ 0
keempat pertidaksamaan
tersebut merupakan fungsi kendala.
Biaya pengecetan setiap
ruang tamu Rp 300.000,00 sedangkan biaya pengecetan setiap kamar tidur Rp
250.000,00 sehingga pendapatan pemborong dapat dirumuskan dengan f (x, y) = 300.000x + 250.000y dengan f(x,
y) disebut fungsi objektif atau fungsi sasaran.
2.
Menyelesaikan Masalah Program Linear
Pada umumnya, masalah
program linear adalah menentukan nilai optimum (nilai maksimum atau nilai
minimum).
Langkah-langkah
menyelesaikan masalah program linear adalah berikut:
1.
Ubah permasalahan verbal menjadi model
matematika dalam fungsi kendala dan fungsi objektif.
2.
Tentukan nilai optimum dengan menggunakan
uji titik pojok (titik ekstrim) atau garis selidik.
Contoh:
Suatu
pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tidak lebih dari 200 penumpang.
Setiap penumpang kelas bisnis hanya boleh membawa bagasi 50 kg. sedangkan
penumpang kelas ekonomi 20 kg. pesawat terssebut hanya dapat membawa hanya
dapat membawa bagasi 5,5 ton. Harga tiket untuk suatu penerbangan domestic tujuan
kota A dari bandara soekarno-hattaa untuk kelas bisnis adalah Rp 800.000,-
/penumpang dan untuk kelas ekonomi Rp 600.000,-/penumpang. Tentukan penjualan
tiket untuk kelas bisnis dan kelas ekonomi agar hasil penjualan tiket maksimum.
Penyelesaian
Diketahui
:
-
Terdapat kata “hanya”
-
Kapasitas tempat duduk tidak lebih dari
200 penumpang
-
Kapasitas bagasi 5,5 ton
Misalkan :
x = banyak penumpang
kelas bisnis
y = banyak penumpang
kelas ekonomi
buatlah tabel terlebih
dahulu
|
Variabel |
Banyak penumpang kelas bisnis |
Banyak penumpang kelas ekonomi |
Kapasitas |
|
Daya tamping penumpang |
1 |
1 |
200 orang |
|
Daya tamping bagasi |
50 kg |
20 kg |
5.500 kg |
Model matematikanya
Kapasitas daya tampung
penumpang x + y ≤ 200
Kapasitas daya tampung
bagasi 50 x + 20 y ≤ 5.500
50 x + 20 y ≤ 5.500 → 5x
+ 2y ≤ 550
X ≥ 0; y ≥ 0
Pendapatan penjualan
tiket merupakan fungsi objektif
F (x,y)= 800.000x +
600.000y
Menentukan titik Potong
Titik Potong A
|
Jika
X = 0 maka 5x
+ 2y = 550 5.0
+ 2y = 550 2y
= 550 Y = 550/2 Y
= 275 |
Jika
Y = 0 maka 5x
+ 2y = 550 5x
+ 2.0 = 550 5x
= 550 X =550/5 X
= 110 |
|
Titik potong C Jika
x = 0 maka X
+ y = 200 0
+ y = 200 Y
= 200 |
Jika
y = 0 maka X
+ y = 200 X
+ 0 =200 X
=200 |
Menentukan titik B dengan cara eliminasi persamaan 1 dan 2
X + y = 200 |x 2| 2x + 2y = 400
5x + 2y =550|x 1|5 x + 2y = 550 -
-3x + 0 = -150
-3x + 0 = - 150
X = -150/-3
X = 50
Substitusi x = 50 ke
persamaan 1
X + y = 200
50 + y = 200
Y = 200 – 50
Y = 150
Koordinat titik B (50,
150)
Berdasarkan grafik
tersebut diperoleh titik pojoknya adalah O (0,0), A (110,0) B (50,150), dan C
(0,200)
Uji titik pojok O, A,
B, dan C
|
Titik |
800.000x |
600.000y |
F (x,y) = 800.000x+ 600.000y |
|
O (0,0) |
0 |
0 |
0 |
|
A (110,0) |
88.000.000 |
0 |
88.000.000 |
|
B ( 50, 150) |
40.000.000 |
90.000.000 |
130.000.000 |
|
C (0,200) |
0 |
120.000.0000 |
120.000.0000 |
Jadi nilai maksimumnya
adalah Rp 130.000.000 yang dipenuhi oleh x = 50 dan y = 150. Dengan kata lain
penjualan tiket akan maksimum jika banyak penumpang kelas bisnis 50 orang dan
kelas ekonomi 150 orang.
LATIHAN
1. Untuk
membuat roti jenis A membutuhkan 150 g tepung dan 50 g mentega, sedangkan roti
jenis B membutuhkan 75 g tepung dan 75 g mentega. Bahan yang tersedia sebanyak
26,25 kg tepung dan 16,25 kg mentega. Keuntungan yang diperoleh dari hasil
penjualan sebuah roti yang harus dibuat setiap jenisnya agar didapat hasil
keuntungan maksimum dan tentukan keuntungan maksimumnya.
2. Seorang
pemborong pengecetan hotel mempunyai persediaan 360 kaleng cat hijau dan 270
kaleng cat krem. Pemborong tersebut mendapat order untuk mengecat ruang Deluxe
dan ruang presiden. Setelah dihitung, satu ruang Deluxe menghabiskan 2
kaleng cat hijau dan 3 kaleng cat krem, sedangkan ruang presiden menghabiskan 4
kaleng cat hijau dan 2 kaleng cat krem,. Biaya pengecatan ruang Deluxe
adalah Rp 1.500.000,-/ruang dan biaya pengecatan ruang presiden Rp
2.500.000/ruang. Buatlha model matematika dalam bentuk fungsi kendala dan
fungsi sasaran dari permasalahan tersebut.
